ユークリッド距離は、ユークリッド空間の2点間の距離です。ユークリッド空間は、紀元前300年頃にギリシャの数学者ユークリッドによって最初に考案されました。角度と距離の関係を研究します。このジオメトリのシステムは現在も使用されており、高校生が最も頻繁に学習するシステムです。ユークリッドジオメトリは、特に2次元および3次元の空間に適用されます。ただし、高次元に簡単に一般化できます。
1次元のユークリッド距離を計算します。 1次元の2点間の距離は、単にそれらの座標間の差の絶対値です。数学的には、これは| p1-q1 |として示されます。ここで、p1は最初のポイントの最初の座標で、q1は2番目のポイントの最初の座標です。距離は通常、負でない値のみを持つと見なされるため、この差の絶対値を使用します。
2次元ユークリッド空間で2つの点PとQを取ります。 Pを座標（p1、p2）で、Qを座標（q1、q2）で記述します。ここで、PとQのエンドポイントでラインセグメントを作成します。このラインセグメントは、直角三角形の斜辺を形成します。ステップ1で得られた結果を拡張すると、この三角形の脚の長さは| p1-q1 |で与えられることに注意してください。および| p2-q2 |。 2点間の距離は、斜辺の長さとして与えられます。
ピタゴラスの定理を使用して、手順2で斜辺の長さを決定します。この定理は、c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2を示します。cは直角三角形の斜辺の長さで、a、bはもう一方の長さです二足。これにより、c =（a ^ 2 + b ^ 2）^（1/2）=（（p1-q1）^ 2 +（p2-q2）^ 2）^（1/2）が得られます。したがって、2次元空間の2点P =（p1、p2）とQ =（q1、q2）間の距離は、（（p1-q1）^ 2 +（p2-q2）^ 2）^（1/2）です。
手順3の結果を3次元空間に拡張します。ポイントP =（p1、p2、p3）とQ =（q1、q2、q3）の間の距離は、（（p1-q1）^ 2 +（p2-q2）^ 2 +（p3-q3）として与えられます。 ^ 2）^（1/2）。
n次元の2つの点P =（p1、p2、...、pn）とQ =（q1、q2、...、qn）間の距離について、手順4で解を一般化します。この一般的な解は、（（p1-q1）^ 2 +（p2-q2）^ 2 + ... +（pn-qn）^ 2）^（1/2）として与えられます。