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分数で多項式を因数分解する最良の方法は、分数をより単純な項に減らすことから始まります。多項式は、2つ以上の項、より具体的には、同じ変数の異なる式を持つ複数の項の合計を持つ代数式を表します。多項式の単純化を支援する戦略には、最大の共通因子の因数分解と、その後の方程式の最低項へのグループ化が含まれます。分数のある多項式を解く場合でも同じことが当てはまります。
分数が定義された多項式
分数付きのフレーズ多項式を表示するには、3つの方法があります。最初の解釈では、係数の小数部を持つ多項式を扱います。代数では、係数は変数の前にある数値または定数として定義されます。つまり、7a、b、および（1/3）cの係数は、それぞれ7、1、および（1/3）です。したがって、分数係数を持つ多項式の2つの例は次のようになります。
（1/4）x2 + 6x + 20およびx2 +（3/4）x +（1/8）。
「分数を持つ多項式」の2番目の解釈は、分子と分母を持つ分数または比率形式で存在する多項式を指します。分子多項式は分母多項式で除算されます。たとえば、この2番目の解釈は次のとおりです。
（バツ2 + 7x + 10）÷（x2 + 11x + 18）
一方、3番目の解釈は、部分分数展開とも呼ばれる部分分数分解に関するものです。多項式分数は複雑であるため、「分解」または「分解」されて単純な用語になると、多項式分数の和、差、積、または商として表されます。例として、（8x + 7）÷（x2 + x-2）部分分数分解によって評価されます。これは、付随的に、多項式の因数分解を含み、最も単純な形式で+になります。
ファクタリングの基礎-分布特性とFOILメソッド
係数は2つの数値を表し、乗算すると3番目の数値に等しくなります。代数方程式では、因数分解により、与えられた多項式に到達するためにどの2つの量が乗算されたかが決まります。多項式を乗算する場合、分布特性は非常に重要です。分配特性により、製品を追加する前に各数値を個別に乗算することで合計を乗算することができます。たとえば、次の例で分配プロパティがどのように適用されるかを観察します。
7（10x + 5）は、70x + 35の二項式に到達します。
ただし、2つの二項が乗算されると、FOILメソッドを介して分布型プロパティの拡張バージョンが利用されます。 FOILは、乗算されるFirst、Outer、Inner、およびLast用語の頭字語を表します。したがって、多項式の因数分解では、FOILメソッドを逆方向に実行する必要があります。分数係数を含む多項式を使用して、前述の2つの例を取り上げます。それらのそれぞれに対してFOILメソッドを逆方向に実行すると、次の要因が生じます。
（（1/2）x + 2）（（1/2）x + 10）最初の多項式と次の因子：
（x +（1/4））（x +（1/2））2番目の多項式。
例：（1/4）x2 + 6x + 20 =（（1/2）x + 2）（（1/2）x + 10）
例：x2 +（3/4）x +（1/8）=（x +（1/4））（x +（1/2））
多項式分数を因数分解するときに実行する手順
上記から、多項式分数には、分子の多項式を分母の多項式で割ったものが含まれます。したがって、多項式分数を評価するには、最初に分子多項式を因数分解し、その後に分母多項式を因数分解する必要があります。分子と分母の間の最大共通因子、またはGCFを見つけるのに役立ちます。分子と分母の両方のGCFが見つかると、キャンセルされ、最終的に方程式全体が簡略化された項に縮小されます。上記の元の多項式分数の例を考えます
（バツ2 + 7x + 10）÷（x2+ 11x + 18）。
分子と分母の多項式を因数分解してGCFを見つけると、次の結果になります。
÷、GCFは（x + 2）です。
分子と分母の両方のGCFは互いに相殺し、（x + 5）÷（x + 9）の最低条件で最終的な答えを提供します。
例：
バツ2 + 7x + 10 （x + 2）（x + 5）（x + 5）
__ = ___ = __
バツ2+ 11x + 18 （x + 2）（x + 9）（x + 9）
部分分数分解による方程式の評価
因数分解を含む部分分数分解は、複雑な多項式分数方程式をより単純な形式に書き換える方法です。上記の例を再検討する
（8x + 7）÷（x2 + x-2）。
分母を単純化する
分母を単純化して、（8x + 7）÷を取得します。
8x + 7 8x + 7
__ = __
バツ2 + x-2（x + 2）（x-1）
分子の並べ替え
次に、分子を再配置して、分母にGCFが存在するようにし、以下を取得します。
（3x + 5x-3 + 10）÷、これはさらに{（3x-3）÷} + {（5x + 10）÷}に拡張されます。
8x + 7 3x + 5x-3 + 10 3x-3 5x + 10
____ = ___ = ______ +
（x + 2）（x-1）（x + 2）（x-1）（x + 2）（x-1）（x + 2）（x-1）
左の加数の場合、GCFは（x-1）ですが、右の加数の場合、GCFは（x + 2）で、{+}に示すように、分子と分母で相殺されます。
3x-3 5x + 10 3（x-1） 5（x + 2）
___ + __ = ___ +
（x + 2）（x-1）（x + 2）（x-1）（x + 2）（x-1） （x + 2）（x-1）
したがって、GCFがキャンセルされると、最終的な簡略化された答えは+になります。
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__ + __ 部分分数分解の解として。
x + 2 x-1