平方根関数を統合する方法

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著者: Randy Alexander
作成日: 1 4月 2021
更新日: 18 11月 2024
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平方根の積分((1-x)/(1 + x))
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関数の統合は、微積分のコアアプリケーションの1つです。時には、これは次のように簡単です。

F(x)=∫(x3 + 8)dx

このタイプの比較的複雑な例では、不定積分を積分するための基本式のバージョンを使用できます。

∫(xn + A)dx = x(n + 1)/(n + 1)+ An + C、

ここで、AとCは定数です。

したがって、この例では、

∫x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C

基本的な平方根関数の統合

表面上、平方根関数の統合は厄介です。たとえば、次のようなことでby地に陥ることがあります。

F(x)=∫√dx

ただし、平方根は指数1/2として表現できます。

√x3 = x3(1/2) = x(3/2)

したがって、積分は次のようになります。

∫(x3/2 + 2x-7)dx

上記の通常の式を適用できるもの:

= x(5/2)/(5/2)+ 2(x2/ 2)-7x

=(2/5)x(5/2) + x2 -7倍

より複雑な平方根関数の統合

この例のように、ラジカル記号の下に複数の用語がある場合があります。

F(x)=∫dx

u-substitutionを使用して続行できます。ここで、uを分母の数量に等しく設定します。

u =√(x-3)

これをxについて解くには、両側を二乗して減算します。

あなたは2 = x-3

x = u2 + 3

これにより、xの導関数を取得することにより、uに関してdxを取得できます。

dx =(2u)du

元の積分に戻すと、

F(x)=∫(u2 + 3 + 1)/ udu

=∫du

=∫(2u2 + 8)du

これで、基本式を使用し、xでuを表現してこれを統合できます。

∫(2u2 + 8)du =(2/3)u3 + 8u + C

= (2/3) 3 + 8 + C

=(2/3)(x-3)(3/2) + 8(x-3)(1/2) + C