平方根関数を統合する方法

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• 基本的な平方根関数の統合
• より複雑な平方根関数の統合

関数の統合は、微積分のコアアプリケーションの1つです。時には、これは次のように簡単です。

F（x）=∫（x³ + 8）dx

このタイプの比較的複雑な例では、不定積分を積分するための基本式のバージョンを使用できます。

∫（xⁿ + A）dx = x^{（n + 1）}/（n + 1）+ An + C、

ここで、AとCは定数です。

したがって、この例では、

∫x³ + 8 = x⁴/ 4 + 8x + C

基本的な平方根関数の統合

表面上、平方根関数の統合は厄介です。たとえば、次のようなことでby地に陥ることがあります。

F（x）=∫√dx

ただし、平方根は指数1/2として表現できます。

√x³ = x^3(1/2) = x^(3/2)

したがって、積分は次のようになります。

∫（x^3/2 + 2x-7）dx

上記の通常の式を適用できるもの：

= x^(5/2)/（5/2）+ 2（x²/ 2）-7x

=（2/5）x^(5/2) + x² -7倍

より複雑な平方根関数の統合

この例のように、ラジカル記号の下に複数の用語がある場合があります。

F（x）=∫dx

u-substitutionを使用して続行できます。ここで、uを分母の数量に等しく設定します。

u =√（x-3）

これをxについて解くには、両側を二乗して減算します。

あなたは² = x-3

x = u² + 3

これにより、xの導関数を取得することにより、uに関してdxを取得できます。

dx =（2u）du

元の積分に戻すと、

F（x）=∫（u² + 3 + 1）/ udu

=∫du

=∫（2u² + 8）du

これで、基本式を使用し、xでuを表現してこれを統合できます。

∫（2u² + 8）du =（2/3）u³ + 8u + C

= (2/3) ³ + 8 + C

=（2/3）（x-3）^(3/2) + 8（x-3）^(1/2) + C