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代数はしばしば式の単純化を伴いますが、一部の式は他の式よりも扱いが複雑です。複素数には、 私、プロパティを持つ「虚数」番号 私 = √−1。単純に複雑な数値を含む式を作成する必要がある場合、気が遠くなるように思えるかもしれませんが、基本的なルールを学習すると、非常に簡単なプロセスになります。
TL; DR（長すぎる;読まなかった）
複素数の代数の規則に従うことにより、複素数を単純化します。
複素数とは何ですか？
複素数は、 私 項。マイナス1の平方根です。基本レベルの数学では、負の数の平方根は実際には存在しませんが、代数の問題に現れることがあります。複素数の一般的な形式は、その構造を示しています。
z = a + バイ
どこ z 複素数にラベルを付け、 a 任意の数（「実際の」部分と呼ばれる）を表し、 b 別の数値（「虚数部」と呼ばれる）を表します。両方とも正または負のいずれでもかまいません。したがって、複素数の例は次のとおりです。
z = 2 −4_i_
負の数のすべての平方根は、 私、これはすべての複素数の形式です。技術的には、通常の番号は複素数の特殊なケースを説明するだけです。 b =0。したがって、すべての数値は複素数とみなされます。
複素数を持つ代数の基本規則
複素数を加算または減算するには、実部と虚部を別々に加算または減算します。複素数の場合 z = 2 – 4_i_および w = 3 + 5_i_、合計は次のとおりです。
z + w =（2 – 4_i_）+（3 + 5_i_）
=(2 + 3) + (−4 + 5)私
= 5 + 1_i_ = 5 + 私
数字を減算しても同じように機能します。
z − w =（2 – 4_i_）−（3 + 5_i_）
= (2 − 3) + (−4 − 5)私
= −1 − 9_i_
乗算は、複素数を使用するもう1つの単純な操作です。なぜなら、それは、 私2 = -1。 3_i_×-4_i_を計算するには：
3_i_×−4_i_ = −12_i_2
しかしそれ以来 私2= -1、その後：
−12_i_2 = −12 ×−1 = 12
完全な複素数（を使用して z = 2 – 4_i_および w = 3 + 5_i _））、（）などの通常の数値と同じ方法で乗算しますa + b) (c + d）、「最初、内側、外側、最後」（FOIL）メソッドを使用して、（a + b) (c + d) = 交流 + 紀元前 + 広告 + bd。覚えておかなければならないのは、のインスタンスを単純化することです 私2。たとえば、次のとおりです。
z × w =（2 – 4_i _）（3 + 5_i_）
=（2×3）+（−4_i_×3）+（2×5_i_）+（−4_i_×5_i_）
= 6 −12_i_ + 10_i_ – 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
複素数の除算
複素数の除算には、分数の分子と分母に分母の複素共役を掛けることが含まれます。複素共役とは、虚数部の符号が反転した複素数のバージョンを意味します。だから z = 2 – 4_i_、複素共役 z = 2 + 4_i_、および w = 3 + 5_i_、 w = 3 −5_i_。問題の場合：
z / w =（2 – 4_i_）/（3 + 5_i_）
必要な共役は w*。分子と分母をこれで割ると、次のようになります。
z / w =（2 – 4_i_）（3 −5_i_）/（3 + 5_i _）（3 − 5_i_）
そして、前のセクションのように作業を進めます。分子は以下を与えます：
（2 – 4_i_）（3 −5_i_）= 6 − 12_i_ − 10_i_ + 20_i_2
= −14 – 22_i_
そして、分母は以下を与えます：
（3 + 5_i _）（3 − 5_i_）= 9 + 15_i_ – 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
これの意味は：
z / w =（−14 – 22_i_）/ 34
= −14/34 − 22_i_ / 34
= −7/17 – 11_i_ / 17
複素数の単純化
必要に応じて上記のルールを使用して、複雑な式を簡素化します。例えば：
z =（（4 + 2_i_）+（2 – 私））÷（（2 + 2_i _）（2+ 私))
これは、分子内の加算規則、分母内の乗算規則を使用し、除算を完了することで簡素化できます。分子の場合：
（4 + 2_i_）+（2 – 私) = 6 + 私
分母の場合：
（2 + 2_i _）（2+ 私）= 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
=（4 – 2）+ 6_i_
= 2 + 6_i_
これらを元に戻すと、次のようになります。
z = (6 + 私）/（2 + 6_i_）
両方の部分に分母の共役を乗算すると、次のようになります。
z = (6 + 私）（2 – 6_i_）/（2 + 6_i_）（2 – 6_i_）
=（12 + 2_i_ – 36_i_ −6_i_2）/（4 + 12_i_ – 12_i_ −36_i_2)
=（18 – 34_i_）/ 40
=（9 – 17_i_）/ 20
= 9/20 −17_i_ / 20
だからこれは z 次のように簡略化します。
z =（（4 + 2_i_）+（2 – 私））÷（（2 + 2_i _）（2+ 私））= 9/20 −17_i_ / 20