因数分解多項式は、数学者が関数のゼロまたは解を決定するのに役立ちます。これらのゼロは、増加率と減少率の重大な変化を示し、一般的に分析プロセスを簡素化します。次数が3以上の多項式の場合、つまり変数の最大指数が3以上の場合、因数分解はより退屈になります。いくつかの例では、グループ化方法は算術を短縮しますが、他の場合では、分析をさらに進める前に、関数または多項式についてさらに知る必要がある場合があります。
多項式を分析して、グループ化による因数分解を検討します。多項式が、最初の2つの項と最後の2つの項から最大共通因子（GCF）を除去すると別の共通因子が明らかになる形式である場合、グループ化方法を使用できます。たとえば、F（x）=x³–x²– 4x + 4とします。最初と最後の2つの用語からGCFを削除すると、x²（x – 1）– 4（x – 1）が得られます。これで、各部品から（x – 1）を引き出して（x²– 4）（x – 1）を取得できます。 「平方の差」法を使用して、さらに進むことができます：（x – 2）（x + 2）（x – 1）。各因子がその素数または因子分解不可能な形になったら、完了です。
キューブの差または合計を探します。多項式に2つの項のみがあり、それぞれが完全な立方体である場合、既知の3次式に基づいて因数分解できます。合計の場合、（x³+y³）=（x + y）（x²– xy +y²）。違いについては、（x³–y³）=（x – y）（x²+ xy +y²）。たとえば、G（x）=8x³– 125とします。次に、この3次多項式の因数分解は、次のように立方体の差に依存します。（2x – 5）（4x²+ 10x + 25）。 5は125の立方根です。4x²+ 10x + 25が素数なので、因数分解は完了です。
多項式の次数を減らすことができる変数を含むGCFがあるかどうかを確認します。たとえば、H（x）=x³– 4xの場合、「x」のGCFを除外すると、x（x²-4）が得られます。次に、平方差法を使用して、多項式をさらにx（x – 2）（x + 2）に分解できます。
既知の解を使用して、多項式の次数を減らします。たとえば、P（x）=x³–4x²– 7x + 10とします。GCFまたはキューブの差/合計がないため、他の情報を使用して多項式を因数分解する必要があります。 P（c）= 0であることがわかると、（x – c）は代数の「因子定理」に基づいたP（x）の因子であることがわかります。したがって、そのような「c」を見つけます。この場合、P（5）= 0なので、（x – 5）は因子でなければなりません。合成または長い除算を使用すると、（x²+ x – 2）の商が得られ、（x – 1）（x + 2）が考慮されます。したがって、P（x）=（x – 5）（x – 1）（x + 2）。