軌道を計算する方法

コンテンツ

• 運動方程式
• 発射体の動きの例
• 軌道計算

放物運動 は、初期速度は与えられているが、その後重力以外の力を受けない粒子の動きを指します。

これには、粒子が水平面に対して0〜90度の角度で投げられ、水平面が通常地面であるという問題が含まれます。便宜上、これらの発射体は（x、y）飛行機、 バツ 水平変位を表す y 垂直変位。

発射物がたどる経路は、 軌道。 （「発射体」と「軌道」の共通リンクは、「スロー」のラテン語である音節「-ject」であることに注意してください。誰かを追い出すことは、文字通り彼を投げ出すことです。）問題における発射体の起源のポイント軌道を計算する必要がある場合は、特に明記しない限り、通常、単純化のために（0、0）と想定されます。

粒子がゼロ以外の水平運動成分を持つように発射され、粒子に影響を与える空気抵抗がない場合、発射体の軌道は放物線です（または少なくとも放物線の一部をトレースします）。

運動方程式

粒子の動きに関係する変数は、その位置座標です バツ そして y、その速度 v、およびその加速 a、すべて所定の経過時間に関連して t 問題の開始以降（パーティクルが起動またはリリースされたとき）。質量（m）の省略は、地球上の重力がこの量とは無関係に作用することを意味することに注意してください。

また、これらの方程式は、空気抵抗の役割を無視することに注意してください。これは、現実の地球の状況での運動に反対する抗力を生み出します。この要素は、高レベルのメカニクスコースで導入されます。

下付き文字「0」が指定された変数は、その時点でのその量の値を参照します t = 0および定数です。多くの場合、この値は選択された座標系のおかげで0であり、方程式ははるかに単純になります。加速度はこれらの問題では一定として扱われます（y方向であり、-g、 または –9.8 m / s²、地球表面近くの重力による加速度）。

水平運動:

x = x₀ + v_バツ t

上下動：

発射体の動きの例

軌道計算を含む問題を解決するための鍵は、上に示すように、運動の水平（x）および垂直（y）成分を別々に分析できること、および運動全体へのそれぞれの寄与が最後にきちんと合計されることを知ることです問題。

発射物の動きの問題は自由落下の問題としてカウントされます t = 0、移動オブジェクトに作用する力は重力のみです。

軌道計算

1.野球の最速投手は、時速100マイル（45 m / s）でボールを投げることができます。ボールがこの速度で垂直に上に投げられた場合、ボールはどれくらい高くなり、リリースされたポイントに戻るまでにどれくらい時間がかかりますか？

ここに v_y0 = 45 m / s、-g = –9.8 m / s、および関心のある量が最終的な高さ、または y、 地球に戻るまでの合計時間。合計時間は2つの部分からなる計算です：yまでの時間とyまでの時間₀ =0。問題の最初の部分では、 v_y, ボールがピークの高さに達すると、0になります。

方程式を使用して開始 v_y² = v_0年² – 2g（y – y₀) そして、あなたが持っている値をプラグインする：

0 = (45)² –（2）（9.8）（y – 0）= 2,025 – 19.6y

y = 103.3 m

方程式 v_y = v_0年 – gt これにかかる時間tは（45 / 9.8）= 4.6秒であることを示しています。合計時間を取得するには、ボールが開始点まで自由に落ちるまでにかかる時間にこの値を追加します。これは y = y₀ + v_0年t –（1/2）gt² 、今、ボールは急落し始める前の瞬間にあるため、 v_0年 = 0.

解く（103.3）=（1/2）gt² tの場合、t = 4.59秒になります。

したがって、合計時間は4.59 + 4.59 = 9.18秒です。旅行の各「脚」が上下に同じ時間をかけたという驚くべき結果は、ここでは重力が唯一の力であるという事実を強調しています。

2. 範囲の方程式： 発射体が速度で発射されるとき v₀ そして、水平からの角度θ、それは速度の初期の水平および垂直成分を持っています v_0x = v₀（cosθ）および v_0年 = v₀（sinθ）。

なぜなら v_y = v_0年 – gt、そして v_y = 0発射体が最大高さに達すると、最大高までの時間はt = v_0年/ g。対称性のため、地面に戻るまでにかかる時間（またはy = y₀）は単純に2t = 2v_0年/g.

最後に、これらを関係x =と組み合わせます v_0xt、発射角度θを与えられた水平移動距離は

R（範囲）= 2（v₀²sinθ ⋅ cosθ/ g）= v₀²（sin2θ）/ g

（最後のステップは、三角関数の恒等式2sinθ⋅cosθ= sin2θから得られます。）

sin2θはθ= 45度のときに最大値1になるため、この角度を使用すると、特定の速度での水平距離が最大になります。

R = v₀²/ g。