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方程式系を解くために最も一般的に使用される3つの方法は、置換行列、削除行列、拡張行列です。置換と削除は、2つの方程式のほとんどのシステムをいくつかの簡単な手順で効果的に解決できる単純な方法です。拡張マトリックスの方法はより多くのステップを必要としますが、その応用はより多様なシステムに拡張されます。
置換
置換は、方程式の1つを除いてすべての変数を削除し、その方程式を解くことにより、方程式系を解く方法です。これは、方程式内の他の変数を分離し、これらの変数の値を他の別の方程式に代入することで実現されます。たとえば、連立方程式x + y = 4、2x-3y = 3を解くには、最初の方程式の変数xを分離してx = 4-yを取得し、このyの値を2番目の方程式に代入して2を取得します（4-y）-3y =3。この方程式は、-5y = -5またはy = 1に簡略化されます。この値を2番目の方程式に代入して、xの値を見つけます：x + 1 = 4またはx = 3。
消去
除去は、1つの変数のみで方程式の1つを書き換えることにより、方程式系を解く別の方法です。消去法は、変数の1つを相殺するために、方程式を互いに加算または減算することでこれを実現します。たとえば、式x + 2y = 3および2x-2y = 3を追加すると、新しい式3x = 6が得られます（y項はキャンセルされます）。システムは、置換と同じ方法を使用して解決されます。方程式の変数をキャンセルすることが不可能な場合、係数を一致させるために方程式全体に係数を掛ける必要があります。
拡張マトリックス
拡張行列は、連立方程式を解くためにも使用できます。拡張マトリックスは、各方程式の行、各変数の列、および方程式の反対側の定数項を含む拡張列で構成されます。たとえば、連立方程式2x + y = 4、2x-y = 0の拡張行列は、...]です。
ソリューションの決定
次のステップでは、ゼロ以外の定数で行を乗算または除算したり、行を加算または減算するなど、基本的な行操作を使用します。これらの操作の目標は、行列を行エシュロン形式に変換することです。各行の最初の非ゼロエントリは1で、このエントリの上下のエントリはすべてゼロで、各エントリの最初の非ゼロエントリは行は常に、その上の行のすべてのエントリの右側にあります。上記の行列の行階層形式は、...]です。最初の変数の値は、最初の行（1x + 0y = 1またはx = 1）で指定されます。 2番目の変数の値は、2番目の行（0x + 1y = 2またはy = 2）で指定されます。
用途
置換と削除は、方程式を解く簡単な方法であり、基本代数の拡張行列よりもはるかに頻繁に使用されます。置換方法は、変数の1つが方程式の1つですでに分離されている場合に特に役立ちます。消去法は、変数の1つの係数がすべての方程式で同じ（またはその負の等価物）である場合に役立ちます。拡張行列の主な利点は、置換と削除が実行不可能または不可能な状況で3つ以上の方程式のシステムを解くために使用できることです。