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数学では、関数は、ドメインと呼ばれる1つのセットのすべての要素を、範囲と呼ばれる別のセットの1つの要素に正確に関連付けるルールです。 x-y軸では、ドメインはx軸（水平軸）で表され、ドメインはy軸（垂直軸）で表されます。ドメイン内の1つの要素を範囲内の複数の要素に関連付けるルールは、関数ではありません。この要件は、関数をグラフ化する場合、グラフを複数の場所で横切る垂直線を見つけることができないことを意味します。
TL; DR（長すぎる;読まなかった）
リレーションは、そのドメイン内の各要素を範囲内の1つの要素のみに関連付ける場合にのみ機能です。関数をグラフ化すると、垂直線は1つの点でのみ交差します。
数学的表現
数学者は通常、関数を「f（x）」という文字で表しますが、他の文字も同様に機能します。文字を「f of x」と読みます。関数をg（y）として表すことを選択した場合、「g of y」と読みます。関数の方程式は、入力値xを別の数値に変換するルールを定義します。これを行う方法は無限にあります。以下に3つの例を示します。
f（x）= 2x
g（y）= y2 + 2年+ 1
p（m）= 1 /√（m-3）
ドメインの決定
関数が「機能する」ドメインの番号のセット。これはすべての数字でも、特定の数字のセットでもかまいません。ドメインは、関数が機能しない1つまたは2つを除くすべての数字にすることもできます。たとえば、関数f（x）= 1 /（2-x）のドメインは2を除くすべての数値です。2を入力すると、分母が0になり、結果が未定義になるためです。 1 /（4-xのドメイン2一方、+ 2と-2を除くすべての数値は、これらの数値の両方の平方が4であるためです。
グラフを見ることで、関数のドメインを特定することもできます。左端から右に向かって、x軸に垂直線を引きます。ドメインは、線がグラフと交差するxのすべての値です。
関係が関数ではない場合
定義により、関数は、ドメイン内の各要素を範囲内の1つの要素にのみ関連付けます。これは、x軸を介して描画する各垂直線が1つのポイントでのみ関数と交差できることを意味します。これは、すべての線形方程式と、x項のみが指数に累乗される高出力方程式で機能します。 x項とy項の両方が累乗される方程式では常に機能するとは限りません。たとえば、x2 + y2 = a2 円を定義します。垂直線は複数の点で円と交差する可能性があるため、この式は関数ではありません。
一般に、関係f（x）= yは、プラグインするxの各値に対してyの値を1つだけ取得する場合にのみ関数です。特定の関係が関数かどうかを判断する唯一の方法は、xのさまざまな値を試して、yの一意の値が得られるかどうかを確認することだけです。
例： 次の方程式は関数を定義していますか？
y = 2x +1 これは、勾配2とy切片1の直線の方程式です。 IS 機能。
y2 = x + 1 x = 3とします。yの値は±2になるため、 ではない 機能。
y3 = x2 xにどの値を設定しても、yには1つの値しか取得できないため、これは IS 機能。
y2 = x2 なぜならy =±√x2、 この ではない 機能。