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n種類のアイテムがあり、それらのコレクションを選択したいとします。これらのアイテムを特定の順序で使用したい場合があります。これらのアイテムの組み合わせを順列と呼びます。順序が重要でない場合、コレクションの組み合わせのセットを呼び出します。組み合わせと順列の両方について、繰り返しで呼び出されるnタイプの一部を複数回選択する場合、または繰り返しなしで呼び出される各タイプを1回だけ選択する場合を考慮することができます。目標は、特定の状況で可能な組み合わせまたは順列の数をカウントできるようにすることです。
順序と階乗
階乗関数は、組み合わせと順列を計算するときによく使用されます。 N！はN×（N–1）×...×2×1を意味します。たとえば、5！ = 5×4×3×2×1 =120。アイテムのセットを注文する方法の数は階乗です。 a、b、cの3文字を取ります。最初の文字には3つの選択肢があり、2番目に2つ、3番目に1つだけです。つまり、合計3×2×1 = 6の順序です。一般的に、n！ n個のアイテムを注文する方法。
繰り返しのある順列
ペイントする部屋が3つあり、それぞれに赤（r）、緑（g）、青（b）、黄色（y）、またはオレンジ（o）の5色のいずれかが塗られているとします。各色は何度でも選択できます。最初の部屋には5色、2番目の部屋には5色、3番目の部屋には5色を選択できます。これにより、合計5×5×5 = 125の可能性が得られます。一般に、n個の繰り返し可能な選択肢から特定の順序でr個のアイテムのグループを選択する方法の数はn ^ rです。
繰り返しのない順列
ここで、すべての部屋が異なる色になると仮定します。最初の部屋には5色、2番目の部屋には4色、3番目の部屋には3色から選択できます。これにより、5×4×3 = 60となり、たまたま5！/ 2！になります。一般に、n個の繰り返し不可能な選択肢から特定の順序でr個のアイテムを選択する独立した方法の数は、n！/（n–r）！です。
繰り返しのない組み合わせ
次に、どの部屋がどの色であるかを忘れます。配色に3つの独立した色を選択するだけです。ここでは順序は関係ないため、（赤、緑、青）は（赤、青、緑）と同じです。 3色のピックには3つあります！それらを注文する方法。したがって、順列の数を3減らすことができます！ 5！/（2！×3！）= 10を取得します。一般に、n！/の方法で、繰り返し不可能なn個の選択から任意の順序でr個のアイテムのグループを選択できます。
繰り返しとの組み合わせ
最後に、好きなだけ何色でも使用できる配色を作成する必要があります。賢い簿記コードは、このカウントタスクに役立ちます。部屋を表すには3つのXを使用します。色のリストはrgbyoで表されます。 Xをカラーリストに混ぜて、各Xをその左側の最初の色に関連付けます。たとえば、rgXXbyXoは、最初の部屋が緑、2番目が緑、3番目が黄色であることを意味します。 Xには左側に少なくとも1つの色が必要であるため、最初のXには5つの使用可能なスロットがあります。リストにXが含まれるようになったため、2番目のXには6つの使用可能なスロット、3番目のXには7つの使用可能なスロットがありますすべて、5×6×7 = 7！/ 4！コードを書く方法。ただし、部屋の順序は任意であるため、実際には7！/（4！×3！）の一意の配置しかありません。通常、（n + r–1）！/の方法で、n個の繰り返し可能な選択肢から任意の順序でr個のアイテムを選択できます。